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          3.3 一元二次不等式及其解法 学案(人教B版必修5)全面版 - 下载本文

          3.3 一元二次不等式及其解法

          1.一元一次不等式

          b??

          通过同解变形,一元一次不等式可化为:ax>b.若a>0,则其解集为?x|x>a?.若a<0,则

          ?

          ?

          b??

          其解集为?x|x

          ?

          ?

          若a=0,b<0,解集为R;b≥0,解集为?. 2.三个“二次”的关系

          通过同解变形,一元二次不等式可化为:ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0 (a>0). 不妨设方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2且x1

          从函数观点来看,一元二次不等式ax2+bx+c>0 (a>0)的解集,就是二次函数y=ax2+bx+c (a>0)在x轴上方部分的点的横坐标x的集合;ax2+bx+c<0 (a>0)的解集,就是二次函数y=ax2+bx+c (a>0)在x轴下方部分的点的横坐标x的集合.

          从方程观点来看,一元二次方程的根是对应的一元二次不等式解集的端点值.

          3.简单的高次不等式的解法——数轴穿根法

          数轴穿根法来源于实数积的符号法则,例如要解不等式(x-1)(x-2)(x-3)>0.我们可以列表如下:

          x<1 13 x的区间 x-1 - + + + x-2 - - + + x-3 - - - + (x-3)(x-2) ·(x-1) - + - + 把表格的信息“浓缩”在数轴得:

          据此,可写出不等式(x-1)(x-2)(x-3)>0的解集是{x|13}. 一般地,利用数轴穿根法解一元高次不等式的步骤是:

          (1)化成形如p(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0 (或<0)的标准形式; (2)将每个因式的根标在数轴上,从右上方依次通过每个点画曲线; (3)奇次根依次穿过,偶次根穿而不过(即不要改变符号);

          (4)根据曲线显现出的p(x)的符号变化规律,标出p(x)的正值区间和负值区间; (5)写出不等式的解集,并检验零点是否在解集内. 4.分式不等式的解法 f?x?(1)>0?f(x)·g(x)>0. g?x?f?x?(2)<0?f(x)·g(x)<0. g?x?

          ?g?x?≥0?f?x?·f?x?

          ?(3)≥0?.

          g?x??g?x?≠0?

          ?g?x?≤0?f?x?·f?x?

          ?(4)≤0?.

          g?x??g?x?≠0?

          注意:解不等式时,一般情况下不要在两边约去相同的因式.

          2x+12x+1

          例如:解不等式:>.

          x-33x-2

          2x+12x+1

          解 原不等式?->0 x-33x-2

          ?x+1?22

          ?2x+1??2??>0?>0

          2?x-3??3x-2???x-3???x-3?

          112

          ?x<-或-3.

          223

          ∴原不等式的解集为

          ?-∞,-1?∪?-1,2?∪(3,+∞).

          2??23??

          5.恒成立问题

          (1)f(x)≥a,x∈D恒成立?f(x)min≥a,x∈D恒成立; f(x)≤a,x∈D恒成立?f(x)max≤a,x∈D恒成立;

          ??a>0?a=b=02

          ?(2)ax+bx+c>0恒成立?或? ?Δ<0?c>0?

          ??a<0?a=b=02

          ax+bx+c<0恒成立??或?.

          ?Δ<0?c<0?

          6.一元二次方程根的分布

          我们以ax2+bx+c=0 (a>0)为例,借助开口方向向上的二次函数的图象给出根的分布的充要条件.

          根的分布 二次函数的图象 充要条件

          x10?b?-2a>k?Δ>0f?k1?>02f?k?>0f?k?>0k0?k<-2ba01 k1

          一、分式不等式的解法

          f?k1?>0???f?k2?<0 ??f?k3?>0 方法链接:解分式不等式通常是移项通分再求解,切忌随意去分母(仅在分母恒大于零

          时可以去分母).

          x2+2x-2

          例1 解不等式:≥x.

          3+2x-x2x2+2x-2

          解 原不等式?-x≥0

          3+2x-x2x3-x2-x-2?≥0

          3+2x-x2

          ?x3-2x2?+?x2-x-2??≥0

          3+2x-x2?x-2?x2+?x-2??x+1??≤0

          x2-2x-3?x-2??x2+x+1??≤0

          ?x-3??x+1??

          ≤0.

          ?x+1??x-3?

          x-2

          由图可知,原不等式的解集为{x|x<-1或2≤x<3}. 二、含参数不等式的解法

          方法链接:对于含有参数的不等式,由于参数的取值范围不同,其结果就不同,因此必须对参数进行分类讨论,即要产生一个划分参数的标准.

          ?x-k??x+3?

          例2 解不等式:

          x+2

          kx+3k+2

          解 原不等式?>0

          x+2?(x+2)(kx+3k+2)>0

          当k=0时,原不等式解集为{x|x>-2}; 当k>0时,(kx+3k+2)(x+2)>0,

          ?3k+2?变形为?x+?(x+2)>0

          k??

          3k+23k+22

          =3+>3>2,∴-<-2. kkk

          3k+2∴x<-或x>-2.

          k

          ???3k+2???. 故解集为x|x>-2或x<-??k??

          ?3k+2?

          当k<0时,原不等式?(x+2)?x+?<0

          k???3k+2?k+2

          由(-2)-?-?=k. k??

          k+23k+2

          ∴当-2

          kk

          ???3k+2???; 不等式的解集为x|-2

          3k+2

          当k=-2时,-=-2,

          k

          原不等式?(x+2)2<0不等式的解集为?; k+23k+2

          当k<-2时,>0,-2>-.

          kk

          ????3k+2

          不等式的解集为?x|-.

          ??k??

          综上所述,当k=0时,不等式的解集为{x|x>-2}; 当k>0时,不等式的解集为

          ????3k+2

          ?x|x<-; 或x>-2???k??

          当-2

          ???3k+2??x|-2

          当k=-2时,不等式的解集为?; 当k<-2时,不等式的解集为

          ????3k+2?x|-?.

          三、恒成立问题的解法

          方法链接:在含参数的恒成立不等式问题中,参数(“客”)和未知数(“主”)是相互牵制、相互依赖的关系,在这里是已知参数a(“客”)的取值范围,反过来求x(“主”)的取值范围,若能转换“主”与“客”两者在问题中的地位:视参数a为“主”,未知数x为“客”,则关于x的一元二次不等式就立即转化为关于a的一元一次不等式,运用反“客”为“主”的方法,使问题迎刃而解.

          例3 已知不等式x2+px+1>2x+p.

          (1)如果不等式当|p|≤2时恒成立,求x的取值范围; (2)如果不等式当2≤x≤4时恒成立,求p的取值范围.

          分析 题中不等式含有两个字母x,p,由(1)的条件可知,应视p为变量,x为常量,再求x的范围;由(2)的条件可知,应视x为变量,p为常量,再求p的范围.

          解 (1)不等式化为:(x-1)p+x2-2x+1>0, 令f(p)=(x-1)p+x2-2x+1,

          则f(p)的图象是一条直线.又因为|p|≤2,

          ?f?-2?>0,

          所以-2≤p≤2,于是得:?

          ?f?2?>0.

          2

          ???-2?+x2-2x+1>0,??x-1?·?x-4x+3>0,即?即?

          222+x-2x+1>0.????x-1?·?x-1>0.

          ∴x>3或x<-1.故x的取值范围是x>3或x<-1. (2)不等式可化为(x-1)p>-x2+2x-1, ∵2≤x≤4,∴x-1>0.

          -x2+2x-1∴p>=1-x.由于不等式当2≤x≤4时恒成立,所以p>(1-x)max.

          x-1而2≤x≤4,所以(1-x)max=-1, 于是p>-1.故p的取值范围是p>-1. 四、一元二次方程根的分布

          方法链接:一元二次方程根的分布一般要借助一元二次函数的图象加以分析,准确找到限制根的分布的充要条件.常常从以下几个关键点去限制,①判别式,②对称轴,③根所在区间端点函数值的符号.

          例4 已知关于x的一元二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程有两根,其中一根在(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m的取值范围.

          解 设f(x)=x2+2mx+2m+1,

          根据题意,画出示意图由图分析可得,m满足不等式组

          ??f?-1?=2>0?f?1?=4m+2<0??f?2?=6m+5>0

          f?0?=2m+1<0

          51解得:-

          62

          五、一元二次不等式的实际应用

          方法链接:解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型,解出不等式后还应注意变量应具有的“实际含义”.

          例5 国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨.按规定,农户向国家纳税为:每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点.即8%).为了减轻农民负担,制定积极的收购政策.根据市场规律,税率降低x个百分点,收购量能增加2x个百分点.试确定x的范围,使税率调低后,国家此项税收总收入不低于原计划的78%.

          分析 对比项 税率 收购量 税收总收入 调整前 8% m(吨) 2 400m×8% 调整后 (8-x)% (1+2x%)m(吨) 2 400(1+2x%)m ×(8-x)% 解 设税率调低后的“税收总收入”为y元.

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